Exercícios Terceiro Estágio
- 1) O que é a condição de normalização na mecânica quântica?
- 2) Qualquer função de onda que é solução da equação de Schrödinger representa um sistema físico?
- 3) Qual é o significado físico da função de onda Ψ na mecânica quântica?
- 4) Em quais situações é possível utilizar a equação de Schrödinger indepedente do tempo?
- 5) O que são estados ligados e não-ligados na mecânica quântica?
- 6) O que são estados quânticos degenerados?
- 7) Suponha uma partícula clássica movendo-se entre duas paredes em x = 0 e x = a.
- 8) Utilize a analogia com o problema de uma corda presa nas extremidades e encontre as funções de onda para uma partícula presa numa caixa unifimensional de comprimento L.
- 9) Encontre o valor esperado de x e x² para uma partícula presa numa caixa unidimensional no seu primeiro estado excitado.
- 10) Uma partícula presa numa caixa unidimensional de comprimento L está no estado fundamental. Calcule a probabilidade de encontrar a partícula.
- 11) Encontre as soluções da equação de onda de Schrödinger para o seguinte potencial
- 12) Encontre as soluções da equação de onda de Schrödinger para o seguinte potencial
- 13) Qual é a diferença substancial entre as soluções dos problemas 11 e 12?
- 14) Mostre que as seguintes funções são soluções da equações de onda de Schrödinger independente do tempo.
- 15) Qual é a diferença entre as soluções clássica e quântica de um sistema submetido a um potencial degrau?
- 16) Explique o efeito tunelamento na mecânica quântica.
- 17) Quanto vale as energias dos três primeiros estados excitados no problema de uma partícula presa numa caixa tridimensional?
- 18) Explique o que significa os coeficientes de transmissão e reflexão nos problemas de potencial degrau e barreiras da mecânica quântica.
- 19) Por que as funções de onda que representam estados quânticos físicos nem sempre são funções reais? Comente sobre o significado das funções de onda complexas.
1) O que é a condição de normalização na mecânica quântica?
Condição de normalização é a equação dada pela figura abaixo e significa que dado uma função de onda Ψ(x) e a densidade de probabilidade |Ψ|², a probabilidade de encontrar a partícula, que tem seu comportamento descrito pela função de onda, em todo o espaço é 100%
Figure 1. Condição de normalização.
2) Qualquer função de onda que é solução da equação de Schrödinger representa um sistema físico?
Não, para que represente um sistema físico, além de ser uma solução para a equação de Schrödinger, a função de onda deve ser verdadeira quando submetida na condição de normalização.
3) Qual é o significado físico da função de onda Ψ na mecânica quântica?
A função de onda Ψ é apenas um descritor do comportamento ondulatório de uma partícula, a função de onda só terá um significado físico quando analisamos o módulo ao quadrado de Ψ, que nos vai mostrar a probabilidade de encontrar a partícula em uma determinada região.
4) Em quais situações é possível utilizar a equação de Schrödinger indepedente do tempo?
Para que possamos utilizar a equação de Schrödinger indepedente do tempo é necessário que a partícula esteja em um estado estacionário, ou seja, a partícula deve está em um estado em que a densidade de probabilidade não varie com o tempo.
5) O que são estados ligados e não-ligados na mecânica quântica?
Estados ligados é um estado em que o sistema físico não possui energia suficiente para perder sua configuração. Por exemplo: A Terra orbitando em torno do sol, como a energia cinética da Terra é bem menor que a energia para do campo gravitacional do Sol, a Terra permanecerá orbitando por um tempo indeterminado. Na mecânica quântica esses estados podem ser vistos em estados estacionários.
6) O que são estados quânticos degenerados?
Estados quânticos degenerados são níveis de energia com mais de uma função de onda associado a ela. A degenerescência está relacionada com a simetria espacial do problema. Se o poço de potencial não tiver as três dimensões iguais, as condições de contorno nas paredes do poço levariam às condições quânticas distintas e, consequentemente, funções de onda diferentes.
7) Suponha uma partícula clássica movendo-se entre duas paredes em x = 0 e x = a.
(a) Qual é a probabilidade de encontrar a partícula entre b e c, com c > b e c < a ?
Como é dito pela questão que se trata de uma particula clássica, basta aplicarmos a probabilidade direto, não há necessidade de encontrar a função de onda nesse caso. Esse problema se trata de uma distribuição uniforme, que tem como função densidade de probabilidade a seguinte fórmula:
Figure 2. Distribuição uniforme
8) Utilize a analogia com o problema de uma corda presa nas extremidades e encontre as funções de onda para uma partícula presa numa caixa unifimensional de comprimento L.
O problema de uma corda presa nas extremidades pode ser utilizado como analogia para o problema do poço de potencial infinito, já que fora dos limites (as paredes) não existe vibração da onda (corda). Desta maneira, podemos esboçar o gráfico da energia potencial na qual a partícula se encontra da seguinte forma: Em que entre zero e L é o espaço entre as paredes
Figure 3. Gráfico potencial - poço infinito
Para encontrar a função de onda que descreve o problema teremos que encontrar as soluções da equação de Schrödinger para as regiões I, II e III. Como sabemos que nas regiões I e III o potencial é infinito, então a partícula não tem energia suficiente para se mover nessas regiões, logo, não tem comportamento ondulatório para essas regiões e Ψ(x) = 0. Na região I, a partícula (corda) pode se mover livremente já que U(x) = 0. Aplicando isso na equação de Schrödinger, temos o seguinte raciocinio:
Figure 4. Equação de Schrödinger na região II
| 1 | Equação de Schrödinger indepedente do tempo, irá cancelar todo aquele termo já que U(X) = 0. |
| 2 | Atribuimos as contantes para a variável K. Poderiamos ter escolhido qualquer outro nome para essa variável, porém, no decorrer da questão esse valor irá coincidir com o número de onda de uma função ondulatória. Geralmente o número de onda é atribuido a uma constante chamado K. |
Chegamos a uma equação em que temos uma função igualada à mesma função, porém, derivada na segunda vez e com o sinal oposto. Podemos modelar essa solução por meios de exponeciais ou por meio de senos e cossenos. Utilizaremos uma solução por meios de senos e cossenos para que facilite nossas contas no futuro, porém, depedendo do problema, uma solução utilizando exponenciais seria mais fácil.
Uma solução geral para essa equação é Ψ(x) = Asenkx + Bcoskx desta forma, poderemos seguir com o seguinte raciocinio:
Figure 5. Equação de Schrödinger na região II (continuação)
| 1 | A função de onda deve ser a mesma para todas as regiões, logo, Ψ(x) em x = 0 da região I deve ser o mesmo que o
Ψ(x) da região II (mesma ideia para x = L). Como sabemos que na região I e II Ψ(x) = 0, então nesses pontos Asenkx + Bcoskx também deve ser zero. |
| 2 | Como já sabemos que B = 0 "A" não pode ser zero também, senão toda a função seria sempre zero, o que significaria que a partícula não estaria na região.
Dessa forma, se A não pode ser zero, então quem deve ser zero é senKL |
| 3 | Para que senKL seja zero, KL deve ser múltiplo de π (180°), a partir disso, encontramos quanto vale K para Ψ(x). |
| 4 | Sabendo quanto vale K e que B é zero, voltamos para a função geral com os resultados adquiridos. |
Basta encontrarmos agora o valor de A para que possamos determinar a função de onda Ψ(x) para a região II (e consequentemente para toda região, já que para as demais regiões Ψ(x) = 0). Para isso, vamos submeter a equação que já encontramos na condição de normalização:
Figure 6. Condição de normalização aplicada
| 1 | sen²x = (1/2)*(1 - cos2x) |
Figure 7. Condição de normalização aplicada (continuação)
| 1 | É utilizado u = 2nπx/L e du = 2nπ/Ldx |
| 2 | Como sen(2nπ) sempre será multiplo de 180, o seno será zero e seno0 é zero |
Substituindo o valor de A encontrado encontramos a função de onda que descreve uma partícula em um poço de potencial infinito que também pode ser utilizado como analogia o problema de uma corda vibrando entre duas paredes.
Figure 8. Função de onda para uma partícula presa em um poço de potencial infinito.
9) Encontre o valor esperado de x e x² para uma partícula presa numa caixa unidimensional no seu primeiro estado excitado.
TODO
10) Uma partícula presa numa caixa unidimensional de comprimento L está no estado fundamental. Calcule a probabilidade de encontrar a partícula.
11) Encontre as soluções da equação de onda de Schrödinger para o seguinte potencial
TODO
12) Encontre as soluções da equação de onda de Schrödinger para o seguinte potencial
TODO
13) Qual é a diferença substancial entre as soluções dos problemas 11 e 12?
TODO
14) Mostre que as seguintes funções são soluções da equações de onda de Schrödinger independente do tempo.
15) Qual é a diferença entre as soluções clássica e quântica de um sistema submetido a um potencial degrau?
TODO
16) Explique o efeito tunelamento na mecânica quântica.
TODO
17) Quanto vale as energias dos três primeiros estados excitados no problema de uma partícula presa numa caixa tridimensional?
TODO
18) Explique o que significa os coeficientes de transmissão e reflexão nos problemas de potencial degrau e barreiras da mecânica quântica.
TODO
19) Por que as funções de onda que representam estados quânticos físicos nem sempre são funções reais? Comente sobre o significado das funções de onda complexas.
TODO